Física y Bioelectricidad

 

BIOELECTRICIDAD

 

A)   Bases Físicas de los Fenómenos Bioeléctricos:

 

1.     Elementos de Electricidad y Magnetismo de interés Biomédico:

     Aspectos principales de donde surge la relación entre los fenómenos eléctricos  magnéticos y los estudios biomédicos:

§  Los tejidos vivos generan señales eléctricas y magnéticas en su funcionamiento fisiológico. Estas señales pueden ser utilizadas para estudiar la fisiología de los tejidos vivos: electrocardiograma, electromiograma, electroencefalograma, etc.

§  La detección de síntomas y signos por medio de instrumentos (semiología instrumental) exige, por lo general, del uso de aparatos eléctricos – electrónicos y magnéticos.

§  Efectos de la electricidad y del magnetismo sobre el cuerpo humano: terapéuticos (electroterapia) y accidental (efectos nocivos de la corriente).

2.     Los conceptos de carga y diferencia de potencial:

§  Una carga es un cierto número de electrones o aniones (carga negativa) o de protones o cationes (carga positiva).

§  Se denomina carga elemental a la asociada a un electrón, a un ión monovalente negativo o anión, a un protón o a un ión monovalente positivo o catión.

§  La unidad de carga en el SIU es el Coulomb que representa 6,27 * 10¹⁸ electrones o iones Na⁺, o iones Cl^- o protones. Por lo tanto, la carga en Coulomb de 1 electrón, 1 ión Na⁺, 1 ión Cl^- o 1 protón es aproximadamente 1,6 * 10^-9.

§  1 Equivalente de cualquier especie iónica contiene el mismo número de cargas: 96500 Coulombs (constante de Faraday).

§  Al desplazarse una carga negativa hacia una positiva realiza un cierto trabajo o libera una cierta cantidad de energía. El cociente entre la energía liberada (E) y la carga desplazada (q) se denomina diferencia de potencial (V) entre los extremos del desplazamiento: V=E/q.

§  Si se quiere volver a pasar la carga negativa a su posición original, hay que aplicar una fuerza extrema y por lo tanto, entregar energía.

§  [V] = Volt, [E] = Joule, [q] = Coulomb.

§  1 mol de cualquier especie iónica monovalente =  1 Equivalente de dicha especie iónica monovalente = 6,02*10²³ de iones; carga de 1 mol o Equivalente de una especie iónica monovalente = 6,02*10²³ * 1,6*10^-19 Coulomb/ión aproximadamente = 96320 C aproximadamente = 96500 C (constante de Faraday).

3.     Génesis del Potencial de Membrana en reposo. Sistemas en equilibrio:

 

§  Consideramos una solución acuosa de KCI O,1 M en reposo en el interior de un recipiente que no intercambia calor ni otra forma de energía con el medio:

- la concentración en cualquier punto no cambia en función del tiempo.

- otras propiedades intensivas (que no dependen de la masa), como el potencial químico o el potencial eléctrico, son constantes e iguales en todo punto del sistema.

§  En otras condiciones no existen gradientes de potencial ni gradientes químicos. La capacidad de realizar trabajo es nula y el sistema se encuentra en “equilibrio termodinámico”.

§  Si introducimos una cantidad de KCI en estado sólido en un recipiente con agua destilada: aparece un gradiente químico en el sistema: los iones (del griego: “los que se mueven”) de K⁺ y Cl^- provocan la aparición de gradientes de potencial eléctrico. La fuerza que moviliza a cada ión es el resultado de los efectos combinados de las diferencias de potencial químico y eléctrico sobre los mismos tal que E una diferencia de potencial electroquímico u/

U = R*T*Ln (C₁/C₂) + Z*F*V

                                                                   

                                                      Energía asociada con el gradiente de  potencial eléctrico

               Potencial químico o energía.

               asociada con el gradiente químico.

                      

                   Energía asociada a una diferencia de potencial eléctrico o gradiente   eléctrico = E = V*q.

                   Si tenemos 1 Equivalente de ión monovalente tal que: q = F y E = V*F

                   Si el ión no es monovalente: E = z*V*F / z es el estado de oxidación no es igual a 1.

                   u  / x es la distancia entre los puntos de la solución considerados; es el               

                    x   gradiente electroquímico o diferencia de potencial electroquímico por unidad de distancia entre los puntos de la solución.

                    Si la movilidad del Cl^- es igual a la del K⁺, se observará un flujo difusional de KCI tal que no aparecen diferencias de potencial eléctrico.

                    Con el tiempo, los gradientes se disipan y el sistema alcanza el equilibrio.

4.     Potencial de Difusión. Potencial de Membrana en un sistema en equilibrio:

 

§  Consideramos el caso de 2 compartimientos separados por una membrana / en el compartimiento 1 hay solución de KCI 0,1 M y en l 2, solución de KCI 0,01 M.

§  Si las movilidades del Cl^- y del K⁺  en las soluciones son consideradas iguales y la permeabilidad de ambos iones en la membrana también son iguales, se observará un movimiento del soluto desde el comportamiento 1 hacia el 2 sin que aparezca diferencia de potencial.

Si la permeabilidad al Cl^- de la membrana es > que la permeabilidad al K⁺ aparecerá sí una diferencia de potencial / el comportamiento 2 queda cargado negativamente.

Si la permeabilidad al K⁺  de la membrana es > que la permeabilidad al Cl^- aparecerá también una diferencia de potencial / el comportamiento 2 queda cargado positivamente.

Con el tiempo, los gradientes y las diferencias de potencial desaparecen.

§  Si en el sistema hay varios iones, la V resultante será igual a la sumatoria de los generadores por cada uno de ellos.

§  En el caso ideal en que la membrana sólo fuera permeable al K⁺, este difundirá de 1 hacia 2/

Potencial químico para el K⁺ en 1: u₁ = R*T*Ln (K)₁

Potencial químico para el K⁺ en 2: u₂ = R*T*Ln (K)₂

§   Como existe, además, un campo eléctrico debido a la naturaleza iónica  del soluto:

Potencial electroquímico para el K⁺ en 1: u₁ = R*T*Ln (K)₁ + Z*F*V₁

Potencial electroquímico para el K⁺ en 2: u₂ = R*T*Ln (K)₂ + Z*F*V₂

§ La diferencia de Potencial electroquímico para el K⁺ entre 1 y 2:

u₁- u₂ = R*T*Ln (K)₁ + Z*F*V₁ - R*T*Ln (K)₂ + Z*F*V₂ ;

u₁- u₂ = R*T*Ln (K)₁ + Z*F (V₁-V₂)

                          (K)₂

                       En el equilibrio:  u₁- u₂ = 0 ;  V₁ - V₂ = - R*T * Ln (K)₁  ;

                                                                                        Z*F          (K)₂ 

V2 – V1 = R*T * Ln (K)1 ; Fórmula de Nernst                  Z*F          (K)2

                            

5.     Potenciales DONNAN:

·       La membrana M no discrimina ningún ión monovalente.

·  Lado 1: concentración de KCI.

·                 Lado 2: concentración de Proteinato de K.     

·  El proteinato es una macromolécula negativa que no puede difundir. Esto induce una redistribución de los iones permanentes.

·  La existencia del proteinato negativo (Prot -) provoca un movimiento de K⁺ por gradiente eléctrico y uno de Cl^- por gradiente químico hacia 2.

·  En el equilibrio el Nº de cargas + totales = Nº total de cargas – tanto en 1 como en 2 (Principio de Electroneutralidad).

·  Resultado final: la presencia de un ión no difusible genera una asimetría en la distribución de los iones difusibles, lo que induce la aparición de un potencial eléctrico. Cada uno de los iones permeables se encontrará en equilibrio electroquímico y se cumplirá que:

V₂ – V₁ = R*T * Ln (K₂/K₁) = R*T * Ln (Cl₁/Cl₂) ;

                 Z*F                          Z*F

  K₂/K₁ = Cl₁/Cl₂

Esta relación se denomina DONNAN y el potencial asociado (V₂ – V₁): potencial de equilibrio DONNAN.

·       Un equilibrio de este tipo se observa entre el espacio intravascular y el intersticial generado por las proteínas plasmáticas que son negativas e impermeables.

 

B)   Potencial de membrana en estado estacionario: (ver Anexo sobre el Impulso Nervioso).

1.     Corriente eléctrica. Inteuridad de corriente:

·       El movimiento de un cierto número de cargas sometidas a una diferencia de potencial eléctrico constituye una corriente eléctrica.

·       Este movimiento de cargas puede ocurrir en dos medios distintos: conductores metálicos y soluciones iónicas.

·       El moviendo de cargas en soluciones iónicas es de importancia en Fisiología.

·       La diferencia de potencial eléctrico entre el interior y el exterior celular nos dice cuál es la energía asociada al pasaje de una carga a través de la membrana.

·       En la membrana celular existen estructuras proteicas, a las que llamamos canales que permiten el paso de distintos iones con mayor o menor selectividad. Si el canal es, por ejemplo, selectivo al Na⁺ el pasaje de este ión por el mismo constituye una corriente de Na⁺.

·       La Intensidad (I) de una corriente es la cantidad de cargas (q) que circulan en la unidad de tiempo / I = q/t y [I] = [q]/[t] o sea: Ampere = Coulomb/segundo.

 

2.     Resistencia – Conductancia:

·       La cantidad de cargas (iones) que atraviesan un canal en la unidad de tiempo depende de la diferencia de potencial entre sus extremos por un lado y de la naturaleza del mismo por el otro. La relación entre la diferencia de potencial (V) existente y la corriente observada (intensidad-I) es la Resistencia (R) del canal considerado / R = V/I y [R] = [V]/ [I] o sea: ohms (r) = Volt/Ampere = V/A.

·       En neurofisiología se suele utilizar la conductancia (G) = 1/R tal que [G] = [I]/ [V] o sea: mhos o siemmens = Ampere/Volt.

A > I tal que > G para una V determinada.

 

3.     Resistencias y Conductancias en Serie y en Paralelo:

·  Cuantos más canales abiertos tenga una membrana tal que < Rv > G.

·       Los canales iónicos de una misma membrana celular están en paralelo entre si.

·       1/R_{1, 2, 3,4} = 1/R₁ + 1/ R₂ + 1/R₃ + 1/ R₄ = 1/Rt o

G_T = G₁ + G₂ + G₃ + G₄.

·       Las líneas continuas indicarán que los canales están “conectados” a las soluciones intracelular (M.I) y extracelular (M.E), cuya resistencia se considera nula.

·       Caso de las células epiteliales: un ión puede atravesar primero la membrana apical y luego la laterobasal.

En este caso, los canales están en serie y la resistencia total será: Rt = R₁ + R₂ o 1/G_T = 1/G₁ + 1/G₂;

1/G_T = (G₂ + G₁)/ (G₁*G₂); G_T = (G₁*G₂) / (G₁ + G₂) =

G₁            * G₂ = G₂             * G₁; G_T < G₂ y G_T < G₁.     

G₁ + G₂            G₁ + G₂

 

4.     Condensadores:

·       Los canales iónicos se hallan inmensos en la bicapa lipídica.

·       La bicapa lipídica puede ser considerada, eléctricamente, como una serie de condensadores.

·       Si agregamos estos condensadores al esquema eléctrico de la membrana celular vista en 3, tendremos un sistema formado por resistencias (canales) y condensadores (la bicapa lipídica) en paralelo.

5.     Esquema eléctrico de la membrana celular:

·       Cada canal es selectivo a un determinado ión: Na⁺, K⁺, Cl^-, Ca⁺,…

·       La diferencia de potencial que “ve” cada canal es α al concentración que para cada ión existe entre ambos lados de la membrana. (Ecuación de Nernst).

·       El Concentración puede esquematizarse como una pila o batería y representada por el símbolo.

 

 

 

 Esquema 1

 

 

 

 

El potencial que se observará a través de la membrana resultará del número de canales abiertos y de la permeabilidad relativa de los mismos.

 

6.     El Potencial de membrana en estado estacionario – Ecuación de Goldman – Hodgkin y Katz:

·       El interior y exterior celular pueden ser considerados como un sistema de 2 comportamientos, separados por una membrana, entre los que se observa la existencia de gradientes de concentración iónica y una diferencia de potencial.

Si el mismo estuviera en equilibrio debería esperarse que, además de la constancia en el valor de los gradientes mencionados, no se observara ningún flujo neto transmembrana para las especies iónicas involucradas.

Si existiera este equilibrio, el potencial de membrana podría ser calculado aplicando la Ecuación de Nernst para cualquiera de las especies iónicas permeables.

 

Esto no es lo que se observa experimentalmente.

·       El sistema celular no se halla en equilibrio, sino en ESTADO ESTACIONARIO. Por ello, cada especie iónica se encuentra sometida a un gradiente electroquímico que genera un Flujo Ji para esta especie a través de la membrana/

Ji = m*z*F*V * C_{i (2)} ^(z*F*V/RT) - C_{i (1)}

                  R*T            z*F*V/R*T – 1

El flujo Ji de un ión (i) depende de la movilidad (m), de la diferencia de potencial (V) y del gradiente de concentración (C_{i (2)} -  C_{i (1)}) a través de la membrana.

Como la movilidad real del ión en la membrana no puede ser conocida, se la reemplaza por un coeficiente empírico que tiene en cuenta el Coeficiente de Partición y el Espesor de la membrana. Este coeficiente se denomina Permeabilidad Pi, el cual involucra las características particulares de la membrana en lo que respecta a la “facilidad” con que el ión pasa a través de la misma.

       Ji = Pi*z*F*V * C_{i (2)} ^(z*F*V/RT) - C_{i (1)}

                 R*T                z*F*V/RT – 1

·       Un flujo iónico es equivalente a una corriente eléctrica circulando por un conductor.

 

Esquema 2

En este Esquema, comparado con

el esquema 1, sólo se han dibujado

iones mayoritarios con el agregado

de las corrientes que atraviesan en

estado estacionario el sistema.

Cada corriente corresponde a un flujo iónico.

Por 1º Ley de Kirchooff (Ley de Nodos): corrientes entrantes y salientes de A = entrantes y salientes de B = 0; Ji = 0 para V = corriente tal que V = (R*T)/ (Z*F)  * Ln (pK * K₁ + pNa*Na₁ + pCl * Cl₂)/ (pK*K₂ + pNa*Na₂ + pCl*Cl₁)  (Ecuación de Goldman, Hodgkin y Katz) / pK, pNa y pCl indican permeabilidad relativa de los distintos iones con respecto al más permeable (el K⁺): pK = 1.

                      K₁, Na₁ y Cl₁ indican concentraciones intracelulares. K₂, Na₂ y Cl₂    indican concentraciones extracelulares.

                      En un sistema en estado estacionario es necesario que se mantengan los gradientes a fin de preservar el potencial de membrana. En los animales, el mecanismo Na-K-atepeasa, constituye la fuente exógena que preserva el gradiente.

 

C. El Potencial de acción:

       

1.     Células excitables y no excitables:

·       Las células excitables son aquellas en las que el potencial de membrana sufre importantes variaciones periódicas asociadas a la función celular.

Es el caso de la célula nerviosa y la célula muscular.

 

2.     Modelo eléctrico de la membrana de las células excitables:

·       Entre el interior y el exterior celular existe una distribución asimétrica de iones.

·       Concentración aproximada (interior y exterior) de las principales especies que participan en la excitabilidad celular:

Concentración en mEq/dm3	Interior	Exterior
Ión Na+ K+ Cl- Ca2+	10 100 5 0,001	140 5 120 5

·       La V para esta distribución asimétrica se calcula con la Ecuación de Goldman – Hodgkin y Katz: V = (R*T)/F  * Ln

PK⁺ (K⁺)i + PNa⁺ (Na⁺)i + PCa²⁺ (Ca²⁺)i + PCl^- (Cl^-)e

              PK⁺ (K⁺)e + PNa⁺ (Na⁺)e + PCa²⁺ (Ca²⁺)e + PCl^- (Cl^-)i

§  i: indicar intracelular y e: indica extracelular.

§  P indica la permeabilidad relativa de los diversos iones con respecto al más permeable (el K⁺):

PK⁺ = 1; PNa⁺ = 0,03; PCa²⁺ = 0,001; PCl^- = 1.

§   [(R*T) /F] = (atm*dm³/mol. º K). º K = [L] = V; (R*T)/F = -58 m V,

                 c/mol                          [Q]

                tal que pasamos de Ln a log₁₀.

§  V = -58 m V* Log 1100 + 0,03*10 + 0,001*0,001 + 1120  ,

                     1*5 + 0,03*140 + 0,001*5 + 1*5

Aproximadamente = -58 m V*Log 1100+ 0,03*10+1120 ;

-69 m V =V

                                                         1*5 + 0,03*140 + 1*5

V = -58 m V*Log 220,3 = -58 m V* (1,19) aproximadamente =

                              14,2

§     En condiciones de reposo y recordando que los canales representan resistencias:

·       Los canales Na⁺ y Cl^- están cerrados tal que Resistencia al Na⁺ es alta y la Conductancia al Na⁺ es baja.

·       Los canales de K⁺ y Cl^- están abiertos tal que Resistencia al K⁺ y al Cl^- es baja y la Conductancia al K⁺ y al Cl^- es alta.

 

3.     Propiedades eléctricas pasivas:

·       Cada una de las unidades antes descriptas se comporta como un circuito R-C (resistencia – condensadores):

·       Si aplicamos a una membrana una onda cuadrada se observa:

Esto permite calcular la Capacidad de la Membrana Celular ya que la carga de un condensador es una función exponencial.

El t ½ (tiempo necesario para llegar al 50% del voltaje de equilibrio) es proporcional a la Capacidad del Condensador.

La capacidad de la membrana celular es del orden de uF/cm².

 

4.     Potencial de acción:

·       El fenómeno de excitación eléctrica se caracteriza por un cambio de conductancia o permeabilidad para alguno de los iones involucrados en el potencial de membrana. El cambio es desencadenado por un mensajero químico (la acetil colina en la sinapsis) o por un estímulo eléctrico.

·       La disminución del potencial de membrana inducido por uno de estos mecanismos recibe el nombre de despolarización. Cuando la despolarización llega a un nivel crítico o umbral se desencadena un proceso todo o nada en el cual un cambio transitorio de conductancia al Na⁺ es seguido por un cambio transitorio de la conductancia K⁺.

-58 m V*Log 240 290

Si consideramos que la conductancia o permeabilidad del Na⁺ aumenta de 0,03 a 2 sin variar ninguna de las otras permeabilidades que se consideraron en el punto 2; aplicando la Ecuación de Goldman – Hodgkin y Katz, se verifica:

V = -58 m * Log 1100 + 2*10 + 0,001*0,001 +1120 =  

                                                          1*5 + 2140 + 0,001*5 + 1*5

; V = +4,77 m V (potencial de membrana).

·       Comparando con el potencial de membrana calculado en el punto 2; esté pasó de -69 m V a +4,77 m V debido a que la conductancia o permeabilidad del Na⁺ pasó de 0,03 a 2 (aumentó 66,6 veces).

·       Este incremento de conductancia o permeabilidad del Na⁺ y la variación del potencial de membrana es transitorio: en algunos m seg regresan a su valor original.

Esto es así, porque la conductancia o permeabilidad del K⁺ aumenta a su vez: supongamos que pasa de 1 a 10.

-58m V*Log 1120 = -74 m V                       59,2

V = -58 m V * Log 10100+0,003*10+0,001*0,001+1120 =

     1*5 + 2140 + 0,001*5 + 1*5

                                                                            

·       O sea: el potencial se hace aún más negativo que en reposo (híper polarización) y luego regresa a su valor original.

·       El Potencial de Acción es un cambio transitorio del potencial de membrana debido al cambio transitorio en la conductancia o permeabilidad del Na⁺ y del K⁺.

 

Guía de Biofísica del CBC-UBA - Unidad 4 – Bases Físicas de los Fenómenos Bioeléctricos – Resolución de la Situación Problemática Propuesta Nº

 

11) En el interior de una célula hay un exceso de iones negativos sobre los iones positivos. Un número igual de iones positivos en exceso se halla presente en el fluido intersticial (exterior de la célula). Los iones en exceso forman finas capas de carga, a cada lado de la membrana celular, lo que origina una diferencia de potencial entre el interior y el exterior de la célula. Considere una membrana celular de espesor de 10 nm y constante dieléctrica relativa e_R = 8. Sabiendo que la diferencia de potencial entre el interior y el exterior de la célula es 70 mV determine:

a)   La capacidad por unidad de área de la membrana (trátela como un capacitor plano),

b)  El campo eléctrico en el interior de la membrana (módulo, dirección y sentido),

c)   El trabajo eléctrico (en eV) para transportar desde el interior al exterior de la célula un ion de Na⁺, un ion de Cl^- y un ion de K⁺, respectivamente. Discuta en cada caso el signo del trabajo.

Te aseguro que pese a la extensión del enunciado, para resolver este ejercicio… no hay demasiado que pensar.

 

La pregunta a) nos pide la capacidad por unidad de área. Pensemos un poco en eso: si nosotros conociéramos todos los parámetros de un capacitor: x – o sea la distancia entre las placas-, E_R – o sea la constante del dieléctrico – y A- el área - podríamos conocer la capacidad del capacitor.

 

C = E₀ E_R A / x

 

Pero cuando tenés muchos capacitares, todos iguales excepto en el área, se torna muy práctico definir la capacidad por unidad de área y alcanza para ello dividir miembro a miembro por área la descripción anterior. Queda así:

 

C/A = E₀ E_R / x

 

Y para el caso de las membranas celulares valdrá:

 

C/A = E₀ E_R / x = 8,85 * 10^-12 (F/m). 8. /10^-8m

	C/A = 7,1 mF/m2

 

 

 

El campo eléctrico surge de dividir la diferencia de potencial por la distancia entre placas. Acordate que se trata de un campo constante.

 

E = 7*106 V/m

E = V/x = 70 mV/10^-8m

 

 

 

Cuando la fuerza es constante, el trabajo es fácil de calcular:

 

W = 70 meV = 0,070 eV

W = F*x = q*E*x = q*V = e*70 mV

 

 

 

Para ingresar un ion negativo a la célula hay que trabajar contra el gradiente de carga ya existente, o sea, contra una fuerza electrostática que repele apuntando hacia fuera. El signo del trabajo dependerá si nos referimos a la fuerza electrostática ya existente o a la fuerza exterior que introduce a la carga.

 

Desafío: ¿Qué trabajo neto debe realizar la bomba de sodio-potasio que introduce dos iones de K⁺ por cada 3 iones de Na⁺ que deja salir?

 

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19) Una fibra nerviosa (axón) se puede considerar como un largo cilindro. Si su diámetro es de 10 um y su resistividad es 2 Ωm, ¿cuál es la resistencia de una fibra de 30 cm de longitud? ¿Qué longitud debería tener un cable de cobre del mismo diámetro para tener la misma resistencia? (resistividad del cobre: 1,72*10^-8 Ωm).

El ejercicio este es muy pero muy sencillo. Sin embargo trae aparejadas ciertas enseñanzas interesantes. Como siempre, propondremos una resistencia de tipo óhmica:

 

R = p * l / S

 

Donde

 

D = 10 um = 10*10^{-6 m,} ¡ojo, todo el mundo se deja olvidado el 10!

 

R = 5 um = 5*10^{-6 m,}

 

S = n*r² = 3,14*(5*10^{-6 m)2} = 7,85*10^-11m²,

 

I = 0,3 m,

 

P_ax = 2 Ωm, dato del enunciado.

 

Ahora sí:

 

R = 2 Ωm*0,3 m / 7,85*10^-11m²

 

Para la misma resistencia y la nueva resistividad, P_cu, despejemos I´, el largo correspondiente:

 

P_cu = 1,72*10^-8 Ωm, dato de tablas.

 

I´ = R*S / P_cu = 7,6*10⁹ Ω * 7,85*10^-11m² / 1,72*10^-8 Ωm

I´ = 35.000 Km.

 

 

Comentario: La primera cuestión para remarcar ES que este ejercicio puede llevar a La interpretación errónea de que los impulsos nerviosos viajan por los axones como las cargas eléctricas por los cables. Nada más alejado de la realidad. El impulso nervioso resulta de la propagación (o viaje por contagio) de la apertura y cierre de canales para ciertos iones. Un canal puesto en la membrana ve que el de al lado se abrió, entonces él también se abre. Así, casi diría “por imitación” del comportamiento de los canales iónicos vecinos, viaja el impulso nervioso. En este fenómeno biológico molecular las cargas eléctricas se desplazan transversalmente a la membrana del axón, por lo tanto transversalmente a la dirección en que viaja el impulso nervioso. Las propiedades del axón que le permiten realizar este trabajo se llaman propiedades activas.

Sin embargo la fibra axonal también se comporta como un cable, en el sentido que –como cualquier material- ofrece cierta resistencia al pasaje eléctrico, y además es largo y finito. A esas propiedades de tipo “cable de mala calidad” se las llama propiedades pasivas. Estas propiedades pasivas tienen una importancia enorme no tanto en la conducción del impulso sino en su integración y conmutación (o sea, supongamos este ejemplo: una neurona responde si y sólo si recibe dos mensajes concordantes de dos neuronas diferentes).

 

Esa lectura, y esa decisión, la toma gracias a las propiedades eléctricas pasivas.

Como se trata siempre de fenómenos muy localizados resulta muy apropiada esa resistividad tan alta que nos describe este ejercicio: la neurona necesita tomar decisiones ahí donde recibe los mensajes.

 

Desafío: para ser más estricto, la resistencia de un axón resulta de la combinación de la resistencia de dos materiales completamente diferentes. Uno de ellos es la membrana dispuesta como un cilindro hueco, cuya resistencia, R_m, suele ser muy alta. Y el otro material es el citosol, dispuesto en forma de cilindro macizo (envuelto por la membrana) cuya resistencia, R_a (resistencia axial), suele ser alta. ¿Se tratará de una serie o de un paralelo?

 

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30) Una membrana de 10^{-8 m de espesor contiene poros de 10 ohm cm de resistividad. La resistividad del material de la membrana es 1014} ohm cm. Sabiendo que la resistividad total de la membrana es 10⁹ ohm cm, estime la relación entre el área de los poros y el área del material de la membrana. Ayuda: Recuerde que entre el interior y el exterior de la membrana celular hay una diferencia de potencial (problema 11). Si llama Rt a la resistencia eléctrica total de la membrana, Rm a la del material que la constituye y Rp a la de los poros, ¿cuál sería el circuito eléctrico que propondría para modelizar este problema?

 

Acá tenés un lindo problema, sobre todo por su conexión con la biología. Pero tiene un pequeño defecto que es que, como está planteado, tiene un 10 por ciento de física y un 90 por ciento de álgebra. No importa, vamos a tratar de explotar al máximo nuestro 10 por ciento y vas a ver que bien vale la pena.

 

Lo primero que tenemos que hacer es cerciorarnos

de que entiendas bien (pero bien, bien) de qué nos

está hablando el enunciado, qué son las superficies

de las que nos pide su relación y qué puede tener que

ver eso con la resistencia. Acá te hice un esquemita de

un cachito de membrana que voy a utilizar para aclarar

ese asunto previo.

 

Suponte que ese cachito de membrana que corté tiene una

superficie de 100 mm² (es ridículo, pero sólo a los efectos

de entender la pregunta). A esos 100 mm² los vamos a llamar

superficie total, S_T.

Ahora fíjate que ese cachito de membrana tiene 6,5 poros y ponele

que cada poro tiene un área de 4 mm²; de modo que tenemos una

superficie total de poros de (6,5 * 4).

26 mm²: a esa superficie “hueca” la llaman área de poros, S_p. Lo

que queda en la membrana que no es poro, es el material de la membrana

(o sea, los fosfolípidos, ¿cierto?), que en nuestro ejemplo imaginario tendría una superficie de (100 – 26) 74 mm². Se trata del área de

material de membrana, S_m. ¿Te quedó claro ahora? Bien, de esto

vamos a usar:

 

S_T = S_p + S_m

Y lo que nos piden hallar es la relación entre el área de los poros y el área del material de la membrana, o sea: S_p / S_m. Manos a la obra.

 

Según este modelo de membrana, una carga que quiera pasar de un lado a otro sólo puede optar por dos caminos: o pasa por un poro, o atraviesa el material de la membrana. Esta descripción coincide exactamente con la definición de paralelo: tanto la resistencia que ofrece atravesar poros como la que ofrece atravesar fosfolípidos, son resistencias en paralelo.

 

Este esquema es la respuesta a la última pregunta

del enunciado, y acá se ve que la resistencia total

de la membrana es la resistencia equivalente del

paralelo entre la resistencia de los poros y la del material.

 

1/R_T = 1/R_p + 1/R_m

 

De todos modos no tenemos los valores de las resistencias

sino los de las resistividades, p. De modo que escribiremos

las resistencias en función de las resistividades R = p l / S, donde

l es el largo de la resistencia (en nuestro caso el espesor de la

membrana, e), y S es la sección de la resistencia (en nuestro caso las

áreas implicadas en cada una).

 

1/ (P_T*e)/S_T = 1/ (P_p*e)/S_p + 1/ (P_m*e)/S_m

 

A partir de acá comienza el 90 por ciento de álgebra. Por supuesto que te lo voy a hacer, pero tratá de seguirlo conmigo así practicas. Además todavía falta, al final, un par de broches para nuestro 10 por ciento de física.

 

El espesor, e, se puede cancelar ya que divide en todos los términos de ambos miembros; y lo que divide en el denominador se puede pasar multiplicando al numerador:

 

 

S_T = S_p + S_m

P_T      P_p      P_m

 

Ahora usamos la relación entre superficies a la que arribamos con el ejemplo hipotético de la membrana: S_T = S_p + S_m:

 

S_p + S_m = S_p + S_m

P_T      P_T       P_p      P_m

 

Reordeno para separar las áreas:

 

 S_m - S_m = S_p - S_p

 P_T      P_m     P_p     P_T

 

En cada miembro tomo el área como factor común:

 

S_m (1/ P_T – 1/ P_m) = S_p (1/ P_p – 1/ P_T)

 

Despejo el cociente que estoy buscando:

 

 S_p = (1/ P_T – 1/ P_m)

 S_m    (1/ P_p – 1/ P_T)

 

Y si querés ya podés hacer la cuenta con la calculadora (pero tratá de que nadie te vea… porque vas a pasar la vergüenza: la cuenta es tan sencilla que hay que hacerla mentalmente… si no me creés, mirá la NOTA ALGEBRAICA de abajo).

	Sp / Sm = 10-8

 

 

 

Discución: ¿entendés lo que te hice ese número? ¡Que los poros están representados MUY minoritariamente: apenas la cien millonésima parte del área de la membrana! ¿Y eso qué querrá decir… que las células tienen pocos poros?

¡¡¡Noooo!!! Poros hay muchísimos, pero son muy pequeños. No te olvides que la estructura del poro está diseñada para dejar pasar de a un ión a la vez. O sea: tienen el diámetro interno de un átomo.

 

NOTA ALGEBRAICA: para empezar, tenés que recordar que si preferís trabajar sin fracciones podés hacer estos reemplazos sencillos:

 

1/10 = 10^-1, 1/10⁹ = 10^-9 y 1/10¹⁴ = 10^-14.

 

Ahora fíjate que si a 10^-1 le restas 10^-9 el resultado es10^-1. Y si no me creés hacelo con la calculadora… ¡pero redondeá! ¡No uses 34 decimales porque se van a reír de vos!

 

Lo mismo pasa si a 10^-9 le restas 10^-14: el resultado es 10^-9.

 

Finalmente, si querés dividir 10^-9 por 10^-1 alcanza con restar los exponentes… pero dale… hacelo con la calculadora… total, las pilas las garpa tu viejo.

 

Desafío: Las mediciones de resistencias se realizan modificando las soluciones a uno y otro lado de la membrana y fijando la diferencia de potencial con una batería… de ese modo podemos medir las corrientes de cada tipo de ión y –por lo tanto- la resistividad de cada tipo de poro o canal. ¿Se tratará de pasajes activos o pasivos?

La Física y la Transmisión del Calor

 

Transmisión del Calor

 

Profesor Carlos Alberto Castriota

 

1. Introducción:

 

1.1 El tratamiento riguroso del Tema de Transmisión de Calor suele , aún más que el de Calorimetría , estar ausente de los temas de Física desarrollados en el Nivel Medio. Sólo suele efectuarse una alusión cualitativa a la diferenciación de las formas de Transmisión de Calor por Conducción, Convección y Radiación.

1.2 La Transmisión de Calor por Conducción y Convección asociadas es, sin embargo, habitual y sus Aplicaciones Tecnológicas son múltiples.

1.3 El tratamiento del tema nos lleva a expresiones matemáticas no mucho más complejas que las de Calorimetría, por lo que su grado de accesibilidad para los alumnos del Nivel es muy posible.

1.4 En el desarrollo de este Módulo se resaltará el redescubrimiento del Principio por el cual, la Energía Calórica se transmite o propaga del lugar donde está más concentrada al lugar donde está menos concentrada (esto es, del ámbito a mayor temperatura al ámbito a menor temperatura).

1.5 Se estudiará las formas de transmisión por Conducción y por Convección asociadas para el caso de una pared de una o varias capas, con fluido intercalado entre ellas, plana , indefinida y de caras paralelas.

 

2. Contenidos Teóricos:

 

 

2.1 Si la temperatura en cada punto de un cuerpo es función de las coordenadas del punto y del tiempo transcurrido , el régimen de transmisión se denomina variable. Esta afirmación se expresa matemáticamente así:

t=f(x,y,z,τ) , donde t indica Temperatura; x, y , z son las Coordenadas del Punto y ,τ indica el Tiempo.

 

2.2 Un ejemplo concreto de transmisión del calor en régimen variable se da cuando en una jornada fría se ingresa a un recinto sin calefaccionar y se procede a encender un calefactor. Durante un intervalo de tiempo  t=f(x,y,z,τ) hasta que la temperatura para cada punto se estabiliza.

 

2.3 Cuando la temperatura en cada punto permanece estable con el tiempo se dice que nos encontramos en régimen estacionario ; entonces t=f(x,y,z).

Estudiaremos la conducción y convección asociadas en este tipo de régimen.

 

2.4 El calor se propaga por conducción en el interior de los cuerpos sólidos y sin desplazamientos de materia en los mismos .La Ley de Fourier es la expresión matemática que expresa  el resultado del estudio experimental de la transmisión de calor por conducción. Esta ley se expresa:

ð Q / d τ = - λ . ( d t / d n ) _{p .} dF donde

ð Q / d τ es la cantidad de calor por unidad de tiempo que atraviesa el diferencial de superficie dF ; λ es el coeficiente de conductividad térmica característico del sólido por el que se propaga el calor ; ( d t / d n ) _p es el gradiente de temperatura en la dirección normal a dF y en el punto P de dicho dF. El signo – (menos) indica que el calor se propaga en el sentido de las temperaturas decrecientes: como el gradiente de temperatura  tiene signo negativo puesto que la temperatura final es menor que la inicial y la cantidad de calor por unidad de tiempo es un escalar positivo, el signo – es un recurso matemático para obtener con signo positivo dicha cantidad de calor. Usualmente, en las situaciones problemáticas, utilizaremos la expresión

∆ t / e en lugar de  d t / d n . ∆ t / e indica la variación de temperatura para el espesor  e  de una pared sólida por la que se propaga el calor (la linealidad aproximada de la variación nos habilita para efectuar esta  simplificación que se lee (Temperatura final – Temperatura inicial) / Espesor para un punto P en la dirección normal a F ).

Las unidades de λ en el Sistema Internacional de Unidades es Joule / m .°C . s

O bien Watts / m .°C

Las unidades de λ en el Sistema Práctico son Kcal / m . hora . °C.

 

2.5 El calor se propaga por convección en los fluidos líquidos y gaseosos con desplazamientos de los mismos. La Ley de Newton es la expresión matemática que expresa el resultado del estudio experimental de la transmisión del calor por convección. Esta Ley se expresa:

ð Q / d τ = h . ( t_s  - t_f ) . F donde

ð Q / d τ es la cantidad de calor por unidad de tiempo transferida a través de una superficie F a una temperatura t_s cuando se encuentra en contacto con un fluído a una temperatura t_f .

Por su parte h es el coeficiente de convección para el par de medios en contacto s-f.

La delgada capa de contacto s- f , donde se produce el “salto” de temperatura se denomina capa límite.

Las unidades de h en el Sistema Internacional de Unidades es Joule / m ².°C . s

O bien Watts / m ².°C

Las unidades de h en el Sistema Práctico son Kcal / m² . hora . °C.

2.6 Cuando se analiza la Transmisión del Calor a través de una pared plana indefinida de caras paralelas resulta práctico utilizar la expresión

ð Q / d τ = k . ( t_f1 – t_f2 ) . F donde t_f1 es la temperatura del fluido 1 que está en contacto con la pared ( allí hay una capa límite ) , t_f2 es la temperatura del fluído 2 que está en contacto con la pared y k es el coeficiente de transmisión total que depende de λ , h y e de acuerdo con la expresión

1/k = 1 / h₁ + e / λ + 1 / h₂  tal que h₁ corresponde a la primer capa límite y h₂  a la segunda capa límite. Puede darse el caso práctico que se tengan varias paredes separadas por fluidos , en cuyo caso se incrementará el número de capas límite.

Las unidades de k en el Sistema Internacional de Unidades es Joule / m ².°C . s

O bien Watts / m ².°C

Las unidades de k en el Sistema Práctico son Kcal / m² . hora . °C.

 

3. Situación Problemática resuelta:

Una lámina plana de Aluminio ( Al ) pulido , de 10 mm de espesor y gran superficie , separa dos recintos que contienen Aire a 50 º C y 30 º C respectivamente. Calcular la cantidad de calor por unidad de tiempo y unidad de superficie, expresada en Kcal / m².hora, si el coeficiente de convección Al-Aire o Aire-Al es h = 35 Kcal / m².hora. º C y el coeficiente de conducción  del Al es λ = 175 Kcal / m. hora. º C.

Resolución:

El calor se transmite del recinto con Aire a 50 º C al recinto con Aire a 30 º C.

Hay dos capas límite: una Aire – Al y otra Al – Aire donde se produce convección.

En la lámina de Al se produce  conducción.

El espesor de la lámina es de 10 mm = 0.01 m = e .

Con la expresión 1/k = 1 / h₁ + e / λ + 1 / h₂ 

donde h₁ = h₂  = 35 Kcal / m² .hora . º C  y λ = 175 Kcal / m. hora . º C.

se calcula k = 17.4325   Kcal / m² . hora . °C..

Como no tenemos de dato la superficie F de la lámina es lógico que se pida el cálculo de la cantidad de calor por unidad de tiempo y unidad de superficie

ð Q / d τ . F = (17.4325 Kcal / m². hora. °C ) . ( 50º C – 30 º C ) =

349.65 Kcal / m².hora

La aplicación tecnológica de este tipo de situación problemática radica en el estudio “a priori” del enfriamiento de un recinto a expensas de otro según el fluido existente en cada recinto y el material de la lámina de material conductor de calor que los separe.

 

4. Situaciones Problemáticas propuestas para resolver:

4.1 En una lámina plana  de Plomo ( Pb ) de 1 cm de espesor se ha establecido un gradiente de temperatura a régimen estacionario. Indicar el λ

( en Kcal / m . hora . º C ) del material con el que se debe reemplazar al Pb para que la lámina sea atravesada por igual cantidad de calor en un tiempo 150 veces mayor. ¿ Qué aplicación tecnológica le encontraría a dicho material ?.

λ _Pb = 30 Kcal / m . hora. º C

 

4.2 Calcular la Potencia que debería tener una estufa eléctrica para mantener una temperatura de 20 º C en el interior de una habitación si la temperatura del medio exterior a ella ( aire ) es de 5º C. Las dimensiones de la habitación son:

6m x 4 m x 4m; el espesor de las paredes es de 30 cm ; se considera despreciable las cantidades de calor que se transfieren a través del piso ; el

h pared – aire = 3 Kcal / m² .hora.ºC y el λ pared = 0.7 Kcal / m .hora. º C.

En una de las paredes hay una ventana de vidrio de 2.5 m x 2 m y en otra de las paredes una ventana de vidrio de 2 m x 2 m.

El λ vidrio = 0.5 Kcal / m. hora. º C y el h vidrio – aire = 5 Kcal / m². hora.ºC

El espesor del vidrio es de 1 cm en ambos casos.

Calcular la Potencia en Kw recordando que 1 Kcal = 4.186 Joules.

¿Qué aplicación tecnológica se deduce de la resolución de esta situación?.

 

La Física y el Poder de Acomodación del Ojo Humano Emetrope

 El Ojo Humano – Poder de Acomodación 

Profesor Carlos Alberto Castriota 

Con el propósito de verificar el comportamiento del Cristalino del Ojo Humano cuando este se acomoda para observar objetos iluminados que se acercan desde “el infinito” hasta “la distancia óptima de visión distinta” ( aproximadamente 25 cm del ojo ), se realizaron Experiencias de Laboratorio que tuvieron como sencillo Dispositivo Experimental la llama de una vela , lentes convergentes de vidrio ( n2 = 1.5 ) rodeadas de aire ( n1 = 1 ) que simularon distintos Cristalinos 

( ante la imposibilidad de contar con una lente flexible como el Cristalino, que cambia sus radios de curvatura y su distancia focal por acción de los músculos ciliares del ojo durante el proceso de acomodación ) y una pantalla donde recoger la imagen real invertida de la llama de la vela y dada por dichas lentes.

Con una cinta métrica milimetrada se determinaron las distancias objeto ( x ) e imagen ( x´) y aplicando luego la Fórmula de Descartes para Lentes delgadas :

1/f = 1/x – 1/x´ se obtuvo la distancia focal f de dichas lentes , que expresadas en metros nos permite calcular su Potencia en Dioptrías.

Obsérvese en el Cuadro de Valores Experimentales adjunto , que para una determinada x , x´en valor absoluto disminuye , f también disminuye y su Potencia aumenta. Esto da la posibilidad de entender que si la x´ permaneciera fija ( de hecho en el Ojo eso es lo que ocurre , pues x´ es la distancia del sistema córnea-cristalino a la retina ), la que tendría que disminuir sería x ( el objeto iluminado se acerca al ojo ) para que la f disminuya y la Potencia aumente.

En síntesis , por el Poder de Acomodación , la Potencia del Cristalino ( Lente Convergente flexible del Ojo ) aumenta cuando acercamos los objetos desde “el infinito” ( ojo relajado ) a la “distancia óptima de visión distinta” ( ojo más tensionado ).La deducción se plantea para un ojo emétrope o normal.

Cuadro de Valores Experimentales:

Lente x:dist.obj x´:dist.imag f:dist.focal Potencia n2 n1

nº m m m D nº nº

1 0.475 0.655 0.275 3.6 1.5 1

2 0.475 0.137 0.106 9.4 1.5 1

3 0.475 0.135 0.105 9.5 1.5 1

4 0.475 0.065 0.057 17.5 1.5 1